الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد الضرب القياسي a·b للمتّجهين a = (4, 5, 3) و b = (−7, −3, 0).

a = (4, 5, 3)b = (−7, −3, 0)

a·b =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (4, 4, 5) و b = (2, 4, −2) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته x n̂_x.

a = (4, 4, 5)b = (2, 4, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 2,5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 2,5 mAC = 4 mP₁ = 25 kN عند 1,5 mP₂ = 50 kN عند 4 m

R_A = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 2,5 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 6 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 4 m من A, حملًا موزّعًا بانتظام w على الجزء CD كله وحملًا مركّزًا Q على بعد 1,5 m من A. أوجد ردّ الفعل R_D عند البكرة.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 60 kN عند 4 mw = 6 kN/m من 2,5 إلى 6 mQ = 60 kN عند 1,5 m

R_D = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 35 kN

F_AC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 50 kNالحمل الأفقي = 20 kN →

F_AC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 3 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 3,6 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1,5 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 10 kN على الساق AC عند K التي تبعد 0,9 m (أفقيًا) عن A. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 10 kNAB = 3 mارتفاع C = 3,6 mارتفاع DE = 1,5 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,9 m

T = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 2 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 4,5 m، ويربطهما القضيب الأفقي DE على ارتفاع 1,2 m. تؤثر قوة أفقية 6 kN نحو اليمين عند C. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 6 kNAB = 2 mارتفاع C = 4,5 mارتفاع DE = 1,2 m

T = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد عزم الانحناء M_x تحت الحمل P₁. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mP₁ = 75 kN عند 2 mP₂ = 70 kN عند 10 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m

M_x = kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد المسافة x_c من A إلى نقطة انقلاب الانحناء بين الركيزتين (حيث يغيّر عزم الانحناء إشارته).

L = 7 mw = 3 kN/m من 0 إلى 7 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m

x_c = m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أنبوب دائري قطره الخارجي D = 230 mm وقطره الداخلي d = 210 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

D = 230 mmd = 210 mm

r = mm

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 50 MPa في الشد و 100 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: a·b = −43

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

اضرب المركّبات المتناظرة واجمع

a·b = 4·(−7) + 5·(−3) + 3·0 = (−28) + (−15) + 0 = −43

الإجابة

a·b = −43

سالب: الزاوية بين المتّجهين أكبر من 90°.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: n̂_x = −0,8179

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−2) − 5·4 = −28

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·2 − 4·(−2) = 18

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·4 − 4·2 = 8

التسوية إلى الوحدة

المركّبة z لـ a × b موجبة أصلًا.

|a × b| = √((−28)² + 18² + 8²) = 34,23

n̂ = (−28, 18, 8)/34,23 = (−0,8179, 0,5258, 0,2337)

n̂_x = −0,8179

الإجابة

n̂_x = −0,8179

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = −20 kN

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 25·1,5 + 50·4

R_B = 237,5/2,5 = 95 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 25 + 50 − 95 = −20 kN

الإجابة

R_A = −20 kN

R_A سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_D = 36,21 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

W = 6·3,5 = 21 kN عند 1,75 m من C

ΣM_C = 0: R_D·3,5 = 60·1,5 + 21·1,75

R_D = 36,21 kN

V_C = 81 − 36,21 = 44,79 kN

الإجابة

R_D = 36,21 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 10,5 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·2 → C_y = 14 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 14 = 21 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −14/0,8 = −17,5 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−17,5)·0,6 = 10,5 kN

الإجابة

F_AC = 10,5 kN (شدّ)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 17,5 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 + 20·3 → C_y = 52,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 52,5 = −2,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −52,5/0,9487 = −55,34 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−55,34)·0,3162 = 17,5 kN

الإجابة

F_AC = 17,5 kN (شدّ)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 2,143 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

الإطار كاملًا: العزوم حول A

B_y = 10·0,9/3 = 3 kN

الساق BC: العزوم حول C

3·1,5 = T·2,1

T = 2,143 kN

الإجابة

T = 2,143 kN

8.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 4,091 kN

الإطار كاملًا: العزوم حول A

B_y·2 = 6·4,5

B_y = 13,5 kN

الساق BC: العزوم حول C

13,5·1 = T·3,3

T = 4,091 kN

الإجابة

T = 4,091 kN

القيمة الموجبة لـ T تعني أن الرباط في شدّ، كما افتُرض.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 77,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 75·2 + 70·10

R_B = 850/8 = 106,3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 145 − 106,3 = 38,75 kN

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر

M_x = R_A·2 = 38,75·2 = 77,5 kN·m

الإجابة

M_x = 77,5 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: x_c = 4,2 m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·7 = 21 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·7·3,5

R_B = 73,5/5 = 14,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 21 − 14,7 = 6,3 kN

انعدام العزم

بين الركيزتين M(x) = R_A·x − w·x²/2. وبخلاف x = 0 يكون صفرًا عند x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·6,3/3 = 4,2 m

الإجابة

x_c = 4,2 m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 77,86 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

A = π(D² − d²)/4 = 6912 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4,19 × 10⁷ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(4,19 × 10⁷/6912) = 77,86 mm

الإجابة

r = 77,86 mm

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 21,98 kN·m

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المركز

ȳ = (2200·225 + 3960·110)/6160 = 151,1 mm

الحافة العلوية: c = 230 − 151,1 = 78,93 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 220·10³/12 + 2200·73,93² + 18·220³/12 + 3960·41,07² = 3,469 × 10⁷ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التحدّب: الأعلى في شد، والأسفل في ضغط.

الحافة العلوية: M = 50·3,469 × 10⁷/78,93 = 21,98 kN·m

الحافة السفلية: M = 100·3,469 × 10⁷/151,1 = 22,97 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 21,98 kN·m (الحافة العلوية)

الإجابة

M_allow = 21,98 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الطريقة

ردود أفعال ركائز الكمرات

الطريقة

الجملون: طريقة العقد

الطريقة

الإطارات والآلات

الطريقة

قوة القص وعزم الانحناء

الطريقة

المركز وعزم القصور الذاتي

2مسائل تدريبية

3المحاليل

اضرب المركّبات المتناظرة واجمع

الإجابة

الضرب الاتجاهي

التسوية إلى الوحدة

الإجابة

العزوم حول A

الاتزان الرأسي

الإجابة

الجزء CD

الإجابة

ردود أفعال الركائز

العقدة C

الإجابة

ردود أفعال الركائز

العقدة C

الإجابة

الإطار كاملًا: العزوم حول A

الساق BC: العزوم حول C

الإجابة

الإطار كاملًا: العزوم حول A

الساق BC: العزوم حول C

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

ردود أفعال الركائز

انعدام العزم

الإجابة

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

نصف قطر الدوران

الإجابة

المركز

عزم القصور الذاتي للمساحة

العزم المسموح من كل حافة

القيمة الحاكمة

الإجابة

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر