مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 30, 11, 32, 54, 48, 19.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 5. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 42,5.

μ = 50σ = 5x = 42,5

z =

3.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 8 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 8

P =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,35, 0,15, 0,2Y = 10X + 4

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل المسامير الملولبة مستقلة وطبيعية بمتوسط 40 g وانحراف معياري 1,2 g. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 10 منها 405,7 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 405,7 g

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 30% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 11 مفردة متوسطها 53,5 وانحرافها المعياري s = 8. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 11x̄ = 53,5s = 895%t(10) = 2,228

الحد الأدنى =

8.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 37. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 5 على الأكثر؟

σ = 37E = 599%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 50 جزءًا متوسط طولها 92 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 9 mm. الخط 2: عينة من 40 جزءًا متوسطها 90,2 mm، والانحراف المعياري المعلوم 10 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 50x̄₁ = 92 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 40x̄₂ = 90,2 mmσ₂ = 10 mm

z =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 25 قياسًا متوسطها 195,2. الانحراف المعياري للمجتمع 15. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 195,2σ = 15n = 2599%

U =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (11, 35). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(11, 35)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,45

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 194/6 = 32,33

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−2,333)² + (−21,33)² + (−0,3333)² + 21,67² + 15,67² + (−13,33)² = 1353

الانحراف المعياري

s = √(1353/5) = 16,45

الإجابة

s = 16,45

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −1,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (42,5 − 50)/5 = −1,5

الإجابة

z = −1,5

3.الاحتمال

الإجابة: P = 0,7674

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

الإجابة

P = 0,7674

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 109

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 22,5, Var(X) = 118,8, σ_X = 10,9

التغيير الخطي

σ_Y = |10|·10,9 = 109

الإجابة

σ_Y = 109

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·22,5 + 4 = 229.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,06681

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (405,7 − 400)/3,795 = 1,5

الاحتمال

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

الإجابة

P = 0,06681

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 181,6 cm

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,7

z من الجدول

z ≈ 0,52

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm

الإجابة

x = 181,6 cm

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 48,13

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 10, t = 2,228

هامش الخطأ

E = 2,228·8/√11 = 5,374

الفترة

53,5 ± 5,374 → [48,13, 58,87]

الإجابة

الحد الأدنى = 48,13

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 364

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·37/5)² = 363,4

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 364

الإجابة

n = 364

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 0,8868

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(9²/50 + 10²/40) = √4,12 = 2,03

إحصائية الاختبار

z = (92 − 90,2)/2,03 = 0,8868

الإجابة

z = 0,8868

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 202,9

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 2,576·15/√25 = 7,728

حد الفترة

U = 195,2 + 7,728 = 202,9

الإجابة

U = 202,9

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,973

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 118/5 = 23,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 59,2

معامل التحديد

r² = −24²/(10·59,2) = 0,973

الإجابة

r² = 0,973

نحو 97,3% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −4,471

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 159/6 = 26,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 227

خط الانحدار

b = 227/70 = 3,243

a = 26,5 − 3,243·7 = 3,8

ŷ = 3,8 + 3,243·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 3,8 + 3,243·11 = 39,47

البُواقي

e = 35 − 39,47 = −4,471

الإجابة

e = −4,471

تقع النقطة تحت الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1