مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 52, 24, 33, 52, 35, 40, 59.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 115.

μ = 100σ = 12x = 115

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,3

σ =

4.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 10 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,6، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 10p = 0,6k = 4

P =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,7959. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,7959

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,03 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 99% لمتوسط، مبنية على 64 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 2. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 90% من البيانات نفسها؟

99%n₁ = 64E₁ = 290%

E₂ =

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 11 قطعة، متوسط المحصول 68 kg، الانحراف المعياري 6,5 kg. مجموعة القطع 2: 10 قطعة، المتوسط 61 kg، الانحراف المعياري 4 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 68s₁ = 6,5n₂ = 10x̄₂ = 61s₂ = 495%t(19) = 2,093

الحد الأعلى = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 103 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103s = 20n = 64

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 175 من 250 مريضًا على العلاج A، و 100 من 120 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 175n₁ = 250x₂ = 100n₂ = 120

z =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 15Σy = 93Σx² = 55Σy² = 1765Σxy = 262

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (4, 60). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(4, 60)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 12,56

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 295/7 = 42,14

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 9,857² + (−18,14)² + (−9,143)² + 9,857² + (−7,143)² + (−2,143)² + 16,86² = 946,9

الانحراف المعياري

s = √(946,9/6) = 12,56

الإجابة

s = 12,56

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,25

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (115 − 100)/12 = 1,25

الإجابة

z = 1,25

3.الاحتمال

الإجابة: σ = 2,234

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,2 + 2·0,35 + 4·0,15 + 6·0,3 = 3,1

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,35 + 16·0,15 + 36·0,3 = 14,6

التباين

Var(X) = 14,6 − 3,1² = 4,99

σ = √4,99 = 2,234

الإجابة

σ = 2,234

4.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1115

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 4) = 210·0,6⁴·0,4⁶ = 210·0,1296·0,004096 = 0,1115

الإجابة

P = 0,1115

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,27

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,7959)/2 = 0,8980

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8980 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,27

الإجابة

z = 1,27

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8849

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

الإجابة

P = 0,8849

7.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 1,277

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/64) = 0,6386

الهامش الجديد

E₂ = 2·0,6386 = 1,277

الإجابة

E₂ = 1,277

8.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 11,99 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (10·6,5² + 9·4²)/19 = 29,82

s_p = 5,46

هامش الخطأ

E = 2,093·5,46·√(1/11 + 1/10) = 4,994

الفترة

7 ± 4,994 → [2,006, 11,99]

الإجابة

الحد الأعلى = 11,99 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,2

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

إحصائية الاختبار

t = (103 − 100)/2,5 = 1,2

الإجابة

t = 1,2

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −2,748

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 175/250 = 0,7

p̂₂ = 100/120 = 0,8333

p̂ = 275/370 = 0,7432

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,7432·0,2568·(1/250 + 1/120)) = 0,04851

إحصائية الاختبار

z = (0,7 − 0,8333)/0,04851 = −2,748

الإجابة

z = −2,748

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9061

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 262 − 15·93/5 = −17

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1765 − 93²/5 = 35,2

معامل الارتباط

r = −17/√(10·35,2) = −0,9061

الإجابة

r = −0,9061

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 3,15

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 378/5 = 75,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 250

خط الانحدار

b = 250/40 = 6,25

a = 75,6 − 6,25·7 = 31,85

ŷ = 31,85 + 6,25·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 31,85 + 6,25·4 = 56,85

البُواقي

e = 60 − 56,85 = 3,15

الإجابة

e = 3,15

تقع النقطة فوق الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1