الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 51, 22, 27, 34, 22.
n = 5
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 112.
μ = 100σ = 12x = 112
z =
3.الاحتمالمتوسطة
بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 3 أشخاص من مجموعة من 14؟ الترتيب غير مهم.
n = 14k = 3
N =
4.الاحتمالصعبة
يحتوي اختبار على 10 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,2، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 2 إجابات صحيحة بالضبط؟
n = 10p = 0,2k = 2
P =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9357. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,9357
z =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 95% على يساره. أوجد حد القطع x.
μ = 178 cmσ = 7 cm95%
x = cm
7.فترات الثقةمتوسطة
يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 100 هاتفًا، المتوسط 63,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 12 h. الطراز 2: 40 هاتفًا، المتوسط 53 h، الانحراف المعياري المعلوم 14 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 100x̄₁ = 63,5 hσ₁ = 12 hn₂ = 40x̄₂ = 53 hσ₂ = 14 h95%
الحد الأعلى = h
8.فترات الثقةصعبة
لأقطار 21 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 3,8 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 20، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 9,591 و 2,5% فوق 34,17.
n = 21s = 3,8 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 497,4 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 497,4s = 5n = 25
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 200 مقابل H₁: μ < 200 عند α = 0.10 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 2.5. في الواقع المتوسط 199.45. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 200μ = 199,45σ = 2,5n = 25α = 0,10
1 − β = %
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 6Σx = 21Σy = 101Σx² = 91Σy² = 1861Σxy = 301
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 9.
n = 6x = 9
ŷ =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 12,11
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 156/5 = 31,2
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 19,8² + (−9,2)² + (−4,2)² + 2,8² + (−9,2)² = 586,8
الانحراف المعياري
s = √(586,8/4) = 12,11
الإجابة
s = 12,11
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 1
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (112 − 100)/12 = 1
الإجابة
z = 1
3.الاحتمال
الإجابة: N = 364
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
التوافيق
C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364
الإجابة
N = 364
4.الاحتمال
الإجابة: P = 0,302
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صيغة ذي الحدين
P(X = 2) = 45·0,22·0,88 = 45·0,04·0,1678 = 0,302
الإجابة
P = 0,302
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 1,85
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = (1 + 0,9357)/2 = 0,9678
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,9678 داخل الجدول واقرأ z.
z = 1,85
الإجابة
z = 1,85
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 189,5 cm
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,95
z من الجدول
z ≈ 1,64
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm
الإجابة
x = 189,5 cm
7.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 15,44 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
التقدير النقطي
x̄₁ − x̄₂ = 63,5 − 53 = 10,5
الخطأ المعياري
SE = √(12²/100 + 14²/40) = 2,518
هامش الخطأ
E = 1,96·2,518 = 4,935
الفترة
10,5 ± 4,935 → [5,565, 15,44]
الإجابة
الحد الأعلى = 15,44 h
الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.
8.فترات الثقة
الإجابة: σ = 2,907 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 20·3,8² = 288,8
حدّا σ²
288,8/34,17 = 8,452
288,8/9,591 = 30,11
حدّ σ
σ = √8,452 = 2,907 µm
الإجابة
σ = 2,907 µm
فترة 95% لـ σ: [2,907, 5,487] µm.
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −2,6
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
إحصائية الاختبار
t = (497,4 − 500)/1 = −2,6
الإجابة
t = −2,6
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: 1 − β = 42,78 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 2,5/√25 = 0,5
x̄c = 200 − 1,282·0,5 = 199,4
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (199,4 − 199,45)/0,5 = −0,182
القدرة
القوة = P(Z < −0.182) = 42.78%
1 − β = 42,78%
الإجابة
1 − β = 42,78%
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = −0,9896
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 301 − 21·101/6 = −52,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1861 − 101²/6 = 160,8
معامل الارتباط
r = −52,5/√(17,5·160,8) = −0,9896
الإجابة
r = −0,9896
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 31,7
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 148/6 = 24,67
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246
خط الانحدار
b = 246/70 = 3,514
a = 24,67 − 3,514·7 = 0,06667
ŷ = 0,06667 + 3,514·x
التنبؤ
ŷ = 0,06667 + 3,514·9 = 31,7
الإجابة
ŷ = 31,7
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1