مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 39, 50, 43, 34, 34, 56.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 15. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 106.

μ = 100σ = 15x = 106

z =

3.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 7 كرات حمراء و8 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

7 / 8

P =

4.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 11 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,3، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 1 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 11p = 0,3k = 1

P =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 10 منها عن 252,4 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10< 252.4 kg

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = درجة

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 50 هاتفًا، المتوسط 136 h، الانحراف المعياري المعلوم 9 h. الطراز 2: 100 هاتفًا، المتوسط 127 h، الانحراف المعياري المعلوم 10 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 136 hσ₁ = 9 hn₂ = 100x̄₂ = 127 hσ₂ = 10 h90%

الحد الأدنى = h

8.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 23. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 5 على الأكثر؟

σ = 23E = 595%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 50 جزءًا متوسط طولها 67 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 7 mm. الخط 2: عينة من 30 جزءًا متوسطها 75,8 mm، والانحراف المعياري المعلوم 17 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 50x̄₁ = 67 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 30x̄₂ = 75,8 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 100 من 250 مريضًا على العلاج A، و 44 من 150 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 100n₁ = 250x₂ = 44n₂ = 150

z =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 8,892

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 256/6 = 42,67

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−3,667)² + 7,333² + 0,3333² + (−8,667)² + (−8,667)² + 13,33² = 395,3

الانحراف المعياري

s = √(395,3/5) = 8,892

الإجابة

s = 8,892

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (106 − 100)/15 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

3.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 7/15 · 6/14 = 42/210 = 0,2

الإجابة

P = 0,2

4.الاحتمال

الإجابة: P = 0,09322

صيغة ذي الحدين

P(X = 1) = 11·0,3¹·0,7¹⁰ = 11·0,3·0,02825 = 0,09322

الإجابة

P = 0,09322

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9357

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (252,4 − 250)/1,581 = 1,52

الاحتمال

P = Φ(1,52) = 0,9357

الإجابة

P = 0,9357

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 48,55 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

العودة إلى x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 درجة

الإجابة

x = 48,55 درجة

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 6,337 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 136 − 127 = 9

الخطأ المعياري

SE = √(9²/50 + 10²/100) = 1,619

هامش الخطأ

E = 1,645·1,619 = 2,663

الفترة

9 ± 2,663 → [6,337, 11,66]

الإجابة

الحد الأدنى = 6,337 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 82

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·23/5)² = 81,29

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 82

الإجابة

n = 82

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −2,701

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(7²/50 + 17²/30) = √10,61 = 3,258

إحصائية الاختبار

z = (67 − 75,8)/3,258 = −2,701

الإجابة

z = −2,701

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 2,152

نسبتا العينتين

p̂₁ = 100/250 = 0,4

p̂₂ = 44/150 = 0,2933

p̂ = 144/400 = 0,36

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,36·0,64·(1/250 + 1/150)) = 0,04957

إحصائية الاختبار

z = (0,4 − 0,2933)/0,04957 = 2,152

الإجابة

z = 2,152

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9968

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 134/6 = 22,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 683,3

معامل الارتباط

r = 218/√(70·683,3) = 0,9968

الإجابة

r = 0,9968

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 14,7

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 80/5 = 16

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

خط الانحدار

b = −26/10 = −2,6

a = 16 − (−2,6)·3 = 23,8

ŷ = 23,8 − 2,6·x

التنبؤ

ŷ = 23,8 + (−2,6)·3,5 = 14,7

الإجابة

ŷ = 14,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1