مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 57, 40, 28, 20, 41, 36, 19.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 185.

μ = 170σ = 12x = 185

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,3, 0,1, 0,15

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = −2X + 20. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,3, 0,3, 0,35Y = −2X + 20

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,1112. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,1112

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 99% منها (المئين 99).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = درجة

7.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 95% لمتوسط، مبنية على 100 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 6,8. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 90% من البيانات نفسها؟

95%n₁ = 100E₁ = 6,890%

E₂ =

8.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,1 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,03 على الأكثر؟

p ≈ 0,1E = 0,0395%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 75,93 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75,93s = 4n = 81

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 49 قياسًا متوسطها 56,3. الانحراف المعياري للمجتمع 20. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 56,3σ = 20n = 4999%

U =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 21Σy = 153Σx² = 91Σy² = 3931Σxy = 514

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 4.

n = 6x = 4

ŷ =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,38

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 241/7 = 34,43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 22,57² + 5,571² + (−6,429)² + (−14,43)² + 6,571² + 1,571² + (−15,43)² = 1074

الانحراف المعياري

s = √(1074/6) = 13,38

الإجابة

s = 13,38

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,25

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (185 − 170)/12 = 1,25

الإجابة

z = 1,25

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,688

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,1 + 5·0,15 = 2,75

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,1 + 25·0,15 = 9,25

التباين

Var(X) = 9,25 − 2,75² = 1,688

الإجابة

Var(X) = 1,688

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 1,841

تشتت X

μ = 2,95, Var(X) = 0,8475, σ_X = 0,9206

التغيير الخطي

σ_Y = |−2|·0,9206 = 1,841

الإجابة

σ_Y = 1,841

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = −2·2,95 + 20 = 14,1.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,22

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,1112 = 0,8888

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8888 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,22

الإجابة

z = 1,22

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 88,26 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

العودة إلى x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 درجة

الإجابة

x = 88,26 درجة

7.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 5,707

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(100/100) = 0,8393

الهامش الجديد

E₂ = 6,8·0,8393 = 5,707

الإجابة

E₂ = 5,707

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,96²·0,1·0,9/0,03² = 384,2

قرّب إلى الأعلى

n = 385

الإجابة

n = 385

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,093

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

إحصائية الاختبار

t = (75,93 − 75)/0,4444 = 2,093

الإجابة

t = 2,093

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 63,66

هامش الخطأ

E = 2,576·20/√49 = 7,36

حد الفترة

U = 56,3 + 7,36 = 63,66

الإجابة

U = 63,66

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9463

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 514 − 21·153/6 = −21,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 3931 − 153²/6 = 29,5

معامل الارتباط

r = −21,5/√(17,5·29,5) = −0,9463

الإجابة

r = −0,9463

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 35,64

المتوسطات

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 268/6 = 44,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

خط الانحدار

b = 158/70 = 2,257

a = 44,67 − 2,257·8 = 26,61

ŷ = 26,61 + 2,257·x

التنبؤ

ŷ = 26,61 + 2,257·4 = 35,64

الإجابة

ŷ = 35,64

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1