مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 14, 29, 23, 60, 13.

n = 5

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأكبر من 20؟

μ = 50σ = 20x = 20

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = −2X + 10. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,35, 0,1Y = −2X + 10

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,1093. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,1093

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 80% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 250 gσ = 5 g80%

x = g

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 80 هاتفًا، المتوسط 138 h، الانحراف المعياري المعلوم 12 h. الطراز 2: 100 هاتفًا، المتوسط 139,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 8 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 138 hσ₁ = 12 hn₂ = 100x̄₂ = 139,5 hσ₂ = 8 h99%

الحد الأعلى = h

8.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,1 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,05 على الأكثر؟

p ≈ 0,1E = 0,0599%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 16 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 3,64 والانحراف المعياري للفروق 9,1. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 3,64s_d = 9,1

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 81 قياسًا متوسطها 49,8. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 49,8σ = 10n = 8195%

U =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (19, 63). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(19, 63)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 19,18

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 139/5 = 27,8

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−13,8)² + 1,2² + (−4,8)² + 32,2² + (−14,8)² = 1471

الانحراف المعياري

s = √(1471/4) = 19,18

الإجابة

s = 19,18

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9332

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,548

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,05 + 4·0,35 = 2,45

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,05 + 16·0,35 = 7,55

التباين

Var(X) = 7,55 − 2,45² = 1,548

الإجابة

Var(X) = 1,548

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 3,975

تشتت X

μ = 2,5, Var(X) = 3,95, σ_X = 1,987

التغيير الخطي

σ_Y = |−2|·1,987 = 3,975

الإجابة

σ_Y = 3,975

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = −2·2,5 + 10 = 5.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,23

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,1093 = 0,8907

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8907 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,23

الإجابة

z = 1,23

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 254,2 g

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,8

z من الجدول

z ≈ 0,84

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

الإجابة

x = 254,2 g

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 2,524 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 138 − 139,5 = −1,5

الخطأ المعياري

SE = √(12²/80 + 8²/100) = 1,562

هامش الخطأ

E = 2,576·1,562 = 4,024

الفترة

−1,5 ± 4,024 → [−5,524, 2,524]

الإجابة

الحد الأعلى = 2,524 h

الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 239

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 2,576²·0,1·0,9/0,05² = 238,9

قرّب إلى الأعلى

n = 239

الإجابة

n = 239

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,6

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 9,1/√16 = 2,275

إحصائية الاختبار

t = 3,64/2,275 = 1,6

الإجابة

t = 1,6

مع df = 15، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,131؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 51,98

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,96·10/√81 = 2,178

حد الفترة

U = 49,8 + 2,178 = 51,98

الإجابة

U = 51,98

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9355

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 401/6 = 66,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 946,8

معامل التحديد

r² = 124,5²/(17,5·946,8) = 0,9355

الإجابة

r² = 0,9355

نحو 93,55% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −1,55

المتوسطات

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 343/5 = 68,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162

خط الانحدار

b = 162/40 = 4,05

a = 68,6 − 4,05·20 = −12,4

ŷ = −12,4 + 4,05·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = −12,4 + 4,05·19 = 64,55

البُواقي

e = 63 − 64,55 = −1,55

الإجابة

e = −1,55

تقع النقطة تحت الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1