الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 46, 52, 46, 42, 50.
n = 5
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 5. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 66,25.
μ = 60σ = 5x = 66,25
z =
3.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,05, 0,35, 0,15, 0,1
Var(X) =
4.الاحتمالصعبة
يُختبر 7 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,4. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 7p = 0,4
P =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,2578. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,2578
z =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 80% منها (المئين 80).
μ = 178σ = 7P = 80%
x = cm
7.فترات الثقةمتوسطة
فترة ثقة 99% لمتوسط، مبنية على 64 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 5,3. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 95% مبنية على 128 مشاهدة؟
99%n₁ = 64E₁ = 5,395%n₂ = 128
E₂ =
8.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 19. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟
σ = 19E = 1,599%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يجري 13 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 1,27 والانحراف المعياري للفروق 2,7. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μd = 0.
n = 13d̄ = 1,27sd = 2,7
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 98 من 150 مريضًا على العلاج A، و 43 من 80 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 43n₂ = 80
z =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 6
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 3,899
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 236/5 = 47,2
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−1,2)² + 4,8² + (−1,2)² + (−5,2)² + 2,8² = 60,8
الانحراف المعياري
s = √(60,8/4) = 3,899
الإجابة
s = 3,899
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 1,25
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (66,25 − 60)/5 = 1,25
الإجابة
z = 1,25
3.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 1,84
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,35 + 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,1 = 1,6
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,1 = 4,4
التباين
Var(X) = 4,4 − 1,6² = 1,84
الإجابة
Var(X) = 1,84
4.الاحتمال
الإجابة: P = 0,1586
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,67 = 0,02799
P(X = 1) = 7·0,4·0,66 = 0,1306
اجمعها
P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586
الإجابة
P = 0,1586
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 0,65
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = 1 − 0,2578 = 0,7422
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,7422 داخل الجدول واقرأ z.
z = 0,65
الإجابة
z = 0,65
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 183,9 cm
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
العودة إلى x
x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm
الإجابة
x = 183,89 cm
7.فترات الثقة
الإجابة: E₂ = 2,851
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
نسبة الهامشين
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(64/128) = 0,538
الهامش الجديد
E₂ = 5,3·0,538 = 2,851
الإجابة
E₂ = 2,851
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 1065
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·19/1,5)² = 1065
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 1065
الإجابة
n = 1065
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 1,696
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
الخطأ المعياري لمتوسط الفروق
SE = 2,7/√13 = 0,7488
إحصائية الاختبار
t = 1,27/0,7488 = 1,696
الإجابة
t = 1,696
مع df = 12، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,179؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 1,718
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 98/150 = 0,6533
p̂₂ = 43/80 = 0,5375
p̂ = 141/230 = 0,613
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,613·0,387·(1/150 + 1/80)) = 0,06743
إحصائية الاختبار
z = (0,6533 − 0,5375)/0,06743 = 1,718
الإجابة
z = 1,718
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = −0,965
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 89/6 = 14,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 110,8
معامل الارتباط
r = −42,5/√(17,5·110,8) = −0,965
الإجابة
r = −0,965
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 37,44
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 243/6 = 40,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53,5
خط الانحدار
b = 53,5/17,5 = 3,057
a = 40,5 − 3,057·5,5 = 23,69
ŷ = 23,69 + 3,057·x
التنبؤ
ŷ = 23,69 + 3,057·4,5 = 37,44
الإجابة
ŷ = 37,44
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1