مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 53, 12, 32, 59, 41, 33.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 185.

μ = 170σ = 10x = 185

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,3, 0,25, 0,3

σ =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X + 20. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3Y = 2X + 20

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0495. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,0495

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,04 mm وانحراف معياري 0,015 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,01 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 80 هاتفًا، المتوسط 121 h، الانحراف المعياري المعلوم 14 h. الطراز 2: 80 هاتفًا، المتوسط 126 h، الانحراف المعياري المعلوم 19 h. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 121 hσ₁ = 14 hn₂ = 80x̄₂ = 126 hσ₂ = 19 h99%

E = h

8.فترات الثقةصعبة

لأقطار 21 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 8,9 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 20، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 9,591 و 2,5% فوق 34,17.

n = 21s = 8,9 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 497 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497s = 20n = 36

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 105 من 300 مريضًا على العلاج A، و 81 من 300 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 105n₁ = 300x₂ = 81n₂ = 300

z =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 84؟

n = 6ŷ = 84

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,8

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 230/6 = 38,33

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 14,67² + (−26,33)² + (−6,333)² + 20,67² + 2,667² + (−5,333)² = 1411

الانحراف المعياري

s = √(1411/5) = 16,8

الإجابة

s = 16,8

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (185 − 170)/10 = 1,5

الإجابة

z = 1,5

3.الاحتمال

الإجابة: σ = 10,54

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 10·0,15 + 20·0,3 + 30·0,25 + 40·0,3 = 27

متوسط المربعات

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,3 + 900·0,25 + 1600·0,3 = 840

التباين

Var(X) = 840 − 27² = 111

σ = √111 = 10,54

الإجابة

σ = 10,54

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 2,406

تشتت X

μ = 1,55, Var(X) = 1,448, σ_X = 1,203

التغيير الخطي

σ_Y = |2|·1,203 = 2,406

الإجابة

σ_Y = 2,406

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·1,55 + 20 = 23,1.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,65

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,0495 = 0,9505

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9505 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,65

الإجابة

z = 1,65

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9868

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

الاحتمال

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

الإجابة

P = 0,9868

7.فترات الثقة

الإجابة: E = 6,797 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 121 − 126 = −5

الخطأ المعياري

SE = √(14²/80 + 19²/80) = 2,639

هامش الخطأ

E = 2,576·2,639 = 6,797

الإجابة

E = 6,797 h

الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: σ = 12,85 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 20·8,9² = 1584

حدّا σ²

1584/34,17 = 46,36

1584/9,591 = 165,2

حدّ σ

σ = √165,2 = 12,85 µm

الإجابة

σ = 12,85 µm

فترة 95% لـ σ: [6,809, 12,85] µm.

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,9

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

إحصائية الاختبار

t = (497 − 500)/3,333 = −0,9

الإجابة

t = −0,9

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 2,119

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 105/300 = 0,35

p̂₂ = 81/300 = 0,27

p̂ = 186/600 = 0,31

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,31·0,69·(1/300 + 1/300)) = 0,03776

إحصائية الاختبار

z = (0,35 − 0,27)/0,03776 = 2,119

الإجابة

z = 2,119

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9283

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 307/6 = 51,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 288,8

معامل التحديد

r² = 68,5²/(17,5·288,8) = 0,9283

الإجابة

r² = 0,9283

نحو 92,83% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 18,05

المتوسطات

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 559/6 = 93,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 329

خط الانحدار

b = 329/70 = 4,7

a = 93,17 − 4,7·20 = −0,8333

ŷ = −0,8333 + 4,7·x

حلّ لإيجاد x

x = (84 − (−0,8333))/4,7 = 18,05

الإجابة

x = 18,05

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1