الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 17, 45, 30, 35, 36, 22, 39.
n = 7
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 109؟
μ = 100σ = 15x = 109
P =
3.الاحتمالمتوسطة
بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 3 أشخاص من مجموعة من 10؟ الترتيب غير مهم.
n = 10k = 3
N =
4.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €20 باحتمال 0,25 و€100 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €5€20: p = 0,25€100: p = 0,02
E(G) = €
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
X طبيعي بمتوسط 60 s وانحراف معياري 5 s؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 45 s وانحراف معياري 4 s. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 113 s. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 113 s
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 15% على يمينه. أوجد حد القطع x.
μ = 250 gσ = 5 g15%
x = g
7.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 13 مفردة متوسطها 26,5 وانحرافها المعياري s = 5,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 95% للمتوسط.
n = 13x̄ = 26,5s = 5,595%t(12) = 2,179
E =
8.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 37. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 4 على الأكثر؟
σ = 37E = 499%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 119,4 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 119,4s = 4n = 100
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 32 من 80 مريضًا على العلاج A، و 159 من 300 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 159n₂ = 300
z =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (4, 69). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 6(4, 69)
e =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 9,764
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 224/7 = 32
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−15)² + 13² + (−2)² + 3² + 4² + (−10)² + 7² = 572
الانحراف المعياري
s = √(572/6) = 9,764
الإجابة
s = 9,764
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,7257
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 0,6
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
الإجابة
P = 0,7257
3.الاحتمال
الإجابة: N = 120
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
التوافيق
C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120
الإجابة
N = 120
4.الاحتمال
الإجابة: E(G) = 2 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 15 (p = 0,25), 95 (p = 0,02), −5 (p = 0,73)
القيمة المتوقعة
E(G) = 15·0,25 + 95·0,02 − 5·0,73 = 2 €
الإجابة
E(G) = 2 €
القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,1056
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (113 − 105)/6,403 = 1,25
الذيل العلوي
P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056
الإجابة
P = 0,1056
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 255,2 g
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,85
z من الجدول
z ≈ 1,04
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g
الإجابة
x = 255,2 g
7.فترات الثقة
الإجابة: E = 3,324
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 12, t = 2,179
هامش الخطأ
E = 2,179·5,5/√13 = 3,324
الإجابة
E = 3,324
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 568
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·37/4)² = 567,8
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 568
الإجابة
n = 568
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −1,5
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4
إحصائية الاختبار
t = (119,4 − 120)/0,4 = −1,5
الإجابة
t = −1,5
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = −2,066
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 32/80 = 0,4
p̂₂ = 159/300 = 0,53
p̂ = 191/380 = 0,5026
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,5026·0,4974·(1/80 + 1/300)) = 0,06291
إحصائية الاختبار
z = (0,4 − 0,53)/0,06291 = −2,066
الإجابة
z = −2,066
|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9327
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 74/6 = 12,33
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Syy = Σ(y − ȳ)² = 135,3
معامل التحديد
r² = 94²/(70·135,3) = 0,9327
الإجابة
r² = 0,9327
نحو 93,27% من التباين في y يفسّره الخط.
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 3,314
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 450/6 = 75
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 326
خط الانحدار
b = 326/70 = 4,657
a = 75 − 4,657·6 = 47,06
ŷ = 47,06 + 4,657·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 47,06 + 4,657·4 = 65,69
البُواقي
e = 69 − 65,69 = 3,314
الإجابة
e = 3,314
تقع النقطة فوق الخط.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1