مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 48, 36, 56, 51, 60, 28.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 100. ما نسبة P القيم الأكبر من 700؟

μ = 500σ = 100x = 700

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X + 20. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,05, 0,3, 0,15, 0,3Y = 0,5X + 20

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,1075. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,1075

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 99% منها (المئين 99).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = درجة

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 10 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 3,9 وانحرافها المعياري 7. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% لمتوسط الفروق.

n = 10d̄ = 3,9s_d = 799%t(9) = 3,25

E = mmHg

8.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 20. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 2,5 على الأكثر؟

σ = 20E = 2,599%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 50 جزءًا متوسط طولها 87,5 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 5 mm. الخط 2: عينة من 80 جزءًا متوسطها 84,5 mm، والانحراف المعياري المعلوم 9 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 50x̄₁ = 87,5 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 80x̄₂ = 84,5 mmσ₂ = 9 mm

z =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 60 من 300 مريضًا على العلاج A، و 7 من 120 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 300x₂ = 7n₂ = 120

z =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 23؟

n = 5ŷ = 23

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 12,23

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 279/6 = 46,5

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 1,5² + (−10,5)² + 9,5² + 4,5² + 13,5² + (−18,5)² = 747,5

الانحراف المعياري

s = √(747,5/5) = 12,23

الإجابة

s = 12,23

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,02275

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

الإجابة

P = 0,02275

3.الاحتمال

الإجابة: σ = 0,8047

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

التباين

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

الإجابة

σ = 0,8047

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 0,7263

تشتت X

μ = 3,3, Var(X) = 2,11, σ_X = 1,453

التغيير الخطي

σ_Y = |0,5|·1,453 = 0,7263

الإجابة

σ_Y = 0,7263

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·3,3 + 20 = 21,65.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,24

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,1075 = 0,8925

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8925 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,24

الإجابة

z = 1,24

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 88,26 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

العودة إلى x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 درجة

الإجابة

x = 88,26 درجة

7.فترات الثقة

الإجابة: E = 7,194 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 9, t = 3,25

هامش الخطأ

E = 3,25·7/√10 = 7,194

الإجابة

E = 7,194 mmHg

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 425

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·20/2,5)² = 424,7

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 425

الإجابة

n = 425

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 2,439

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(5²/50 + 9²/80) = √1,512 = 1,23

إحصائية الاختبار

z = (87,5 − 84,5)/1,23 = 2,439

الإجابة

z = 2,439

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 3,582

نسبتا العينتين

p̂₁ = 60/300 = 0,2

p̂₂ = 7/120 = 0,05833

p̂ = 67/420 = 0,1595

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,1595·0,8405·(1/300 + 1/120)) = 0,03955

إحصائية الاختبار

z = (0,2 − 0,05833)/0,03955 = 3,582

الإجابة

z = 3,582

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,8901

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 420/6 = 70

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 483

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1664

معامل التحديد

r² = 483²/(157,5·1664) = 0,8901

الإجابة

r² = 0,8901

نحو 89,01% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 5,038

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 134/5 = 26,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

خط الانحدار

b = 158/40 = 3,95

a = 26,8 − 3,95·6 = 3,1

ŷ = 3,1 + 3,95·x

حلّ لإيجاد x

x = (23 − 3,1)/3,95 = 5,038

الإجابة

x = 5,038

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1