الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 33, 42, 55, 29, 21, 27.
n = 6
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأقل من 80؟
μ = 70σ = 5x = 80
P =
3.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,1, 0,35, 0,35
σ =
4.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X − 3. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,25, 0,05, 0,35, 0,25Y = 0,5X − 3
σY =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. ما النسبة التي تقع بين 60 و 75 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 65σ = 10x1 = 60x2 = 75
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 80% منها (المئين 80).
μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
7.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 8 مفردة متوسطها 110 وانحرافها المعياري s = 19. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 90% للمتوسط.
n = 8x̄ = 110s = 1990%t(7) = 1,895
E =
8.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 22. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 1 على الأكثر؟
σ = 22E = 195%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يُزعم أن متوسط مجتمع ما 80؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 4. متوسط عينة عشوائية من 64 مشاهدة هو 79,16. اختبر H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ < 80. أوجد القيمة الاحتمالية p.
μ₀ = 80σ = 4n = 64x̄ = 79,16H₁: μ < μ₀
p =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 81 قياسًا متوسطها 79,5. الانحراف المعياري للمجتمع 15. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 99% للمتوسط.
x̄ = 79,5σ = 15n = 8199%
L =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 6
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (8, 65). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(8, 65)
e =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 12,23
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 207/6 = 34,5
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−1,5)² + 7,5² + 20,5² + (−5,5)² + (−13,5)² + (−7,5)² = 747,5
الانحراف المعياري
s = √(747,5/5) = 12,23
الإجابة
s = 12,23
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,9772
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 2
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
الإجابة
P = 0,9772
3.الاحتمال
الإجابة: σ = 11,08
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 10·0,2 + 20·0,1 + 30·0,35 + 40·0,35 = 28,5
متوسط المربعات
E(X²) = 100·0,2 + 400·0,1 + 900·0,35 + 1600·0,35 = 935
التباين
Var(X) = 935 − 28,5² = 122,8
σ = √122,8 = 11,08
الإجابة
σ = 11,08
4.الاحتمال
الإجابة: σY = 0,6782
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 2,4, Var(X) = 1,84, σX = 1,356
التغيير الخطي
σY = |0,5|·1,356 = 0,6782
الإجابة
σY = 0,6782
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·2,4 − 3 = −1,8.
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,5328
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (60 − 65)/10 = −0,5
z₂ = (75 − 65)/10 = 1
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1) − Φ(−0,5) = 0,8413 − 0,3085 = 0,5328
الإجابة
P = 0,5328
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 254,2 g
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
العودة إلى x
x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g
الإجابة
x = 254,21 g
7.فترات الثقة
الإجابة: E = 12,73
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 7, t = 1,895
هامش الخطأ
E = 1,895·19/√8 = 12,73
الإجابة
E = 12,73
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 1860
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,96·22/1)² = 1859
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 1860
الإجابة
n = 1860
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: p = 0,04648
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
إحصائية الاختبار
SE = σ/√n = 4/√64 = 0,5
z = (79,16 − 80)/0,5 = −1,68
مساحة الذيل
Φ(1,68) = 0,9535
1 − Φ(1,68) = 0,0465
القيمة الاحتمالية
p = 0,04648
الإجابة
p = 0,04648
p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 75,21
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 2,576·15/√81 = 4,293
حد الفترة
L = 79,5 − 4,293 = 75,21
الإجابة
L = 75,21
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9651
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 267/6 = 44,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 121,5
معامل الارتباط
r = 44,5/√(17,5·121,5) = 0,9651
الإجابة
r = 0,9651
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 2,2
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 289/5 = 57,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 200
خط الانحدار
b = 200/40 = 5
a = 57,8 − 5·7 = 22,8
ŷ = 22,8 + 5·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 22,8 + 5·8 = 62,8
البُواقي
e = 65 − 62,8 = 2,2
الإجابة
e = 2,2
تقع النقطة فوق الخط.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1