مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 39, 40, 45, 14, 42, 12, 59.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأكبر من 50؟

μ = 60σ = 5x = 50

P =

3.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 3 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 3

P =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X − 3. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,2, 0,3, 0,25, 0,2Y = 5X − 3

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,5991. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,5991

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 25% منها (المئين 25).

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 7 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 1,5 وانحرافها المعياري 7,9. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% لمتوسط الفروق.

n = 7d̄ = 1,5s_d = 7,995%t(6) = 2,447

الحد الأدنى = mmHg

8.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 29. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟

σ = 29E = 0,599%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 250؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 6. متوسط عينة عشوائية من 36 مشاهدة هو 247,82. اختبر H₀: μ = 250 مقابل H₁: μ < 250. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 250σ = 6n = 36x̄ = 247,82H₁: μ < μ₀

p =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 49 قياسًا متوسطها 201,3. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 201,3σ = 10n = 4990%

L =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 36Σy = 214Σx² = 286Σy² = 7924Σxy = 1416

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,98

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 251/7 = 35,86

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 3,143² + 4,143² + 9,143² + (−21,86)² + 6,143² + (−23,86)² + 23,14² = 1731

الانحراف المعياري

s = √(1731/6) = 16,98

الإجابة

s = 16,98

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9772

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

3.الاحتمال

الإجابة: P = 0,4213

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

الإجابة

P = 0,4213

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 5,761

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 3,35, Var(X) = 1,328, σ_X = 1,152

التغيير الخطي

σ_Y = |5|·1,152 = 5,761

الإجابة

σ_Y = 5,761

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·3,35 − 3 = 13,75.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,84

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,5991)/2 = 0,7995

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,7995 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,84

الإجابة

z = 0,84

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 246,6 g

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

العودة إلى x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

الإجابة

x = 246,63 g

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −5,807 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 6, t = 2,447

هامش الخطأ

E = 2,447·7,9/√7 = 7,307

الفترة

1,5 ± 7,307 → [−5,807, 8,807]

الإجابة

الحد الأدنى = −5,807 mmHg

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 22323

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·29/0,5)² = 22323

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 22323

الإجابة

n = 22323

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,01463

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 6/√36 = 1

z = (247,82 − 250)/1 = −2,18

مساحة الذيل

Φ(2,18) = 0,9854

1 − Φ(2,18) = 0,0146

القيمة الاحتمالية

p = 0,01463

الإجابة

p = 0,01463

p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 199

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,645·10/√49 = 2,35

حد الفترة

L = 201,3 − 2,35 = 199

الإجابة

L = 199

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9243

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 1416 − 36·214/6 = 132

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 7924 − 214²/6 = 291,3

معامل الارتباط

r = 132/√(70·291,3) = 0,9243

الإجابة

r = 0,9243

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 33,1

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 113/5 = 22,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

خط الانحدار

b = 140/40 = 3,5

a = 22,6 − 3,5·6 = 1,6

ŷ = 1,6 + 3,5·x

التنبؤ

ŷ = 1,6 + 3,5·9 = 33,1

الإجابة

ŷ = 33,1

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1