الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 34, 18, 29, 42, 43.
n = 5
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأقل من 155؟
μ = 170σ = 10x = 155
P =
3.الاحتمالمتوسطة
يُرمى حجر نرد منتظم 2 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟
n = 2
P =
4.الاحتمالصعبة
يحتوي اختبار على 12 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,2، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 2 إجابات صحيحة بالضبط؟
n = 12p = 0,2k = 2
P =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. ما النسبة التي تقع بين 422 و 562 h؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 500σ = 40x1 = 422x2 = 562
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
كتلة منتج X من الخط 1 وY من الخط 2 مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 500 g وانحراف معياري 8 g، ولـ Y متوسط 490 g وانحراف معياري 6 g. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.فترات الثقةمتوسطة
فترة ثقة 95% لمتوسط، مبنية على 64 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 10,3. ما هامش الخطأ E₂ إذا استخدمت الدراسة نفسها 256 مشاهدة بدلًا من ذلك؟
95%n₁ = 64E₁ = 10,3n₂ = 256
E₂ =
8.فترات الثقةصعبة
تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,7 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,05 على الأكثر؟
p ≈ 0,7E = 0,0590%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 122,1 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122,1s = 10n = 64
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ < 500 عند α = 0.01 بعينة من 36؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 12. في الواقع المتوسط 496.4. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 500μ = 496,4σ = 12n = 36α = 0,01
1 − β = %
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 5Σx = 25Σy = 200Σx² = 135Σy² = 8056Σxy = 1020
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (4,5, 26). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 26)
e =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 10,28
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 166/5 = 33,2
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 0,8² + (−15,2)² + (−4,2)² + 8,8² + 9,8² = 422,8
الانحراف المعياري
s = √(422,8/4) = 10,28
الإجابة
s = 10,28
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,06681
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −1,5
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
الإجابة
P = 0,06681
3.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3056
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
الحدث المتمم
P(لا ستة) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
الإجابة
P = 0,3056
4.الاحتمال
الإجابة: P = 0,2835
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صيغة ذي الحدين
P(X = 2) = 66·0,22·0,810 = 66·0,04·0,1074 = 0,2835
الإجابة
P = 0,2835
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,9138
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (422 − 500)/40 = −1,95
z₂ = (562 − 500)/40 = 1,55
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1,55) − Φ(−1,95) = 0,9394 − 0,02559 = 0,9138
الإجابة
P = 0,9138
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,8413
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 10)/10 = −1
الاحتمال
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
الإجابة
P = 0,8413
7.فترات الثقة
الإجابة: E₂ = 5,15
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
نسبة الهامشين
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(64/256) = 0,5
الهامش الجديد
E₂ = 10,3·0,5 = 5,15
الإجابة
E₂ = 5,15
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 228
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
حُلّ لإيجاد n
n = 1,645²·0,7·0,3/0,05² = 227,3
قرّب إلى الأعلى
n = 228
الإجابة
n = 228
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 1,68
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
إحصائية الاختبار
t = (122,1 − 120)/1,25 = 1,68
الإجابة
t = 1,68
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: 1 − β = 29,94 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 12/√36 = 2
x̄c = 500 − 2,326·2 = 495,3
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (495,3 − 496,4)/2 = −0,526
القدرة
القوة = P(Z < −0.526) = 29.94%
1 − β = 29,94%
الإجابة
1 − β = 29,94%
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,8452
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 1020 − 25·200/5 = 20
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 8056 − 200²/5 = 56
معامل الارتباط
r = 20/√(10·56) = 0,8452
الإجابة
r = 0,8452
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 2,55
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 127/5 = 25,4
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13
خط الانحدار
b = −13/10 = −1,3
a = 25,4 − (−1,3)·3 = 29,3
ŷ = 29,3 − 1,3·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 29,3 + (−1,3)·4,5 = 23,45
البُواقي
e = 26 − 23,45 = 2,55
الإجابة
e = 2,55
تقع النقطة فوق الخط.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1