مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 18, 31, 27, 34, 30, 11, 42.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 8. ما نسبة P القيم الأكبر من 66؟

μ = 70σ = 8x = 66

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,25, 0,3, 0,3

σ =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,35, 0,05, 0,15Y = 5X + 4

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0274. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,0274

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,02 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,01 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 13 مفردة متوسطها 75,5 وانحرافها المعياري s = 19,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 13x̄ = 75,5s = 19,595%t(12) = 2,179

الحد الأعلى =

8.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 8. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 2 على الأكثر؟

σ = 8E = 295%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 118,9 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,9s = 5n = 16

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 99% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 5. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 5E = 0,599%

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 30Σy = 96Σx² = 220Σy² = 2170Σxy = 690

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 25,5.

n = 6x = 25,5

ŷ =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 10,28

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 193/7 = 27,57

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−9,571)² + 3,429² + (−0,5714)² + 6,429² + 2,429² + (−16,57)² + 14,43² = 633,7

الانحراف المعياري

s = √(633,7/6) = 10,28

الإجابة

s = 10,28

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,6915

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −0,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

الإجابة

P = 0,6915

3.الاحتمال

الإجابة: σ = 2,086

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,15 + 2·0,25 + 4·0,3 + 6·0,3 = 3,5

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,25 + 16·0,3 + 36·0,3 = 16,6

التباين

Var(X) = 16,6 − 3,5² = 4,35

σ = √4,35 = 2,086

الإجابة

σ = 2,086

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 6,344

تشتت X

μ = 2,7, Var(X) = 1,61, σ_X = 1,269

التغيير الخطي

σ_Y = |5|·1,269 = 6,344

الإجابة

σ_Y = 6,344

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·2,7 + 4 = 17,5.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,92

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,0274 = 0,9726

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9726 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,92

الإجابة

z = 1,92

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8133

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

الإجابة

P = 0,8133

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 87,28

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 12, t = 2,179

هامش الخطأ

E = 2,179·19,5/√13 = 11,78

الفترة

75,5 ± 11,78 → [63,72, 87,28]

الإجابة

الحد الأعلى = 87,28

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 62

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·8/2)² = 61,47

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 62

الإجابة

n = 62

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,88

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

إحصائية الاختبار

t = (118,9 − 120)/1,25 = −0,88

الإجابة

t = −0,88

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 664

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·5/0,5)² = 663,6

قرّب إلى الأعلى

n = 664

الإجابة

n = 664

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9971

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 690 − 30·96/5 = 114

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2170 − 96²/5 = 326,8

معامل الارتباط

r = 114/√(40·326,8) = 0,9971

الإجابة

r = 0,9971

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 83,34

المتوسطات

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 426/6 = 71

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 648

خط الانحدار

b = 648/157,5 = 4,114

a = 71 − 4,114·22,5 = −21,57

ŷ = −21,57 + 4,114·x

التنبؤ

ŷ = −21,57 + 4,114·25,5 = 83,34

الإجابة

ŷ = 83,34

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1