تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w من الجدار حتى 2,5 m وحملًا مركّزًا P على بعد 1,5 m من الجدار. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A عند الجدار.

L = 5 mP = 65 kN عند 1,5 mw = 3 kN/m من 0 إلى 2,5 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته 10 kN/m عند الجدار وينخفض إلى الصفر عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 7 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 10 mw₀ = 10 kN/mP = 25 kN عند 7 m

M_A = kN·m

3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

40 kN @ 2 m4 kN/m, 1–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 30 kN عند 2 mw = 6 kN/m من 0 إلى 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 40 kN

F_AB = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 35 kNالحمل الأفقي = 20 kN ←

F_AB = kN

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 125 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/300. أوجد أصغر عمق h_req للمقطع.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 125 mm

h_req = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 72,5 kN

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 3·2,5 = 7,5 kN, x̄ = 1,25 m

الاتزان الرأسي

R_A = P + W = 65 + 7,5 = 72,5 kN

الإجابة

R_A = 72,5 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 341,7 kN·m

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·10·10 = 50 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

العزم حول الجدار

M_A = W·x̄ + P·a = 50·3,333 + 25·7 = 341,7 kN·m

الإجابة

M_A = 341,7 kN·m

3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 2 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 35 kN, R₂ = 25 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 35, M_C = 68 kN·m, M_D = 57, M_E = 42, M_F = 23, M_G = 0

الإجابة

علامة C: M_C = 68 kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 54 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2 + 6·5·2,5

R_B = 135/5 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 27 = 33 kN

اقطع عند x = 2 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 33·2 − 6·2·1 = 54 kN·m

الإجابة

M_x = 54 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −40,39 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·5 → C_y = 25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 25 = 15 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15/0,3714 = −40,39 kN

الإجابة

F_AB = −40,39 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −44,19 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·2 − 20·2 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 3,75 = 31,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −31,25/0,7071 = −44,19 kN

الإجابة

F_AB = −44,19 kN (ضغط)

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 22,73 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 22,73 mm

الإجابة

δ = 22,73 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: h_req = 163,4 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δ_allow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·13,33) = 4,545 × 10⁷ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = I_req → h = (12·4,545 × 10⁷/125)^1/3 = 163,4 mm

الإجابة

h_req = 163,4 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 11,7 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/3000² = 11697 N = 11,7 kN

الإجابة

P_cr = 11,7 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 34,27 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

الإجابة

σ_cr = 34,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis