1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 7,2y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 7,2y′ + 9y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 22 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 100 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 55 يومًا؟
m0 = 100 mgt½ = 22 dt = 55 d
m = mg
3.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 4. أوجد y(1,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = 4
y(1.5) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 440 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 30 °C. بعد 38 min تكون درجة حرارتها 91 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 61 °C؟
T0 = 440 °CTa = 30 °CT(38) = 91 °CT = 61 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 27,25y = 54,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 27,25y = 54,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 16,25y = 16,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 16,25y = 16,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 1,2
- 2. m = 17,68 mg
- 3. y(1.5) = 0,1016
- 4. t = 51,5 min
- 5. ymax = 2,779
- 6. y(1) = 1,454
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.