1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 11 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 200 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 42 يومًا؟
m0 = 200 mgt½ = 11 dt = 42 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 2y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 2y′ + 4y = 0
ζ =
3.متوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0. أوجد y(1).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1) =
4.متوسطة
كوب قهوة عند 92 °C تُرك في غرفة عند 18 °C. بعد 29 min تكون درجة حرارتها 35 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 27 °C؟
T0 = 92 °CTa = 18 °CT(29) = 35 °CT = 27 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 13y = 130 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 13y = 130y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y′ + y = 10e−3t مع y(0) = 5. أوجد y(1,5).
y′ + y = 10e−3ty(0) = 5
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 14,18 mg
- 2. ζ = 0,5
- 3. y(1) = 0,7358
- 4. t = 41,54 min
- 5. ymax = 11,23
- 6. y(1.5) = 2,176
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.