1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 14 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 80 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 40 يومًا؟
m0 = 80 mgt½ = 14 dt = 40 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 5y′ + 4y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 440 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 30 °C. بعد 57 min تكون درجة حرارتها 161 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 96 °C؟
T0 = 440 °CTa = 30 °CT(57) = 161 °CT = 96 °C
t = min
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 21 °C. بعد 28 min تكون درجة حرارتها 112 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 48 °C؟
T0 = 300 °CTa = 21 °CT(28) = 112 °CT = 48 °C
t = min
5.صعبة
حلّ y′ + 2y = 3e−0,5t مع y(0) = 1. أوجد y(0,5).
y′ + 2y = 3e−0,5ty(0) = 1
y(0.5) =
6.صعبة
حلّ y′ + 3y = 7e−2t مع y(0) = 4. أوجد y(2).
y′ + 3y = 7e−2ty(0) = 4
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 11,04 mg
- 2. r = −1
- 3. t = 91,25 min
- 4. t = 58,37 min
- 5. y(0.5) = 1,19
- 6. y(2) = 0,1208
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.