1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 18 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 10 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 12 يومًا؟
m0 = 10 mgt½ = 18 dt = 12 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 250 عند t = 0 و 375 عند t = 11 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 250y(11) = 375
k = h⁻¹
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 25 °C. بعد 29 min تكون درجة حرارتها 21 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 23 °C؟
T0 = 3 °CTa = 25 °CT(29) = 21 °CT = 23 °C
t = min
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 29 °C. بعد 6 min تكون درجة حرارتها 9 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 7 °C؟
T0 = 3 °CTa = 29 °CT(6) = 9 °CT = 7 °C
t = min
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = x2 لـ x > 0، مع y(1) = 2. أوجد y(2).
y′ + y/x = x2y(1) = 2
y(2) =
6.صعبة
خزان يحتوي 400 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 81 kg من الملح؟
V = 400 Lm0 = 5 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. m = 6,3 mg
- 2. k = 0,03686 h⁻¹
- 3. t = 40,79 min
- 4. t = 3,82 min
- 5. y(2) = 2,875
- 6. t = 128,8 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.