1.سهلة
للمعادلة y″ + 9y′ + 20y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 9y′ + 20y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 2y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 2y′ + 100y = 0
ζ =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 86 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,09 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 20 min.
T0 = 86 °CTa = 22 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 20 min
T = °C
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 29 °C. بعد 6 min تكون درجة حرارتها 11 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 29 °CT(6) = 11 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 15 kg من الملح؟
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
t = min
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 9,25y = 92,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 9,25y = 92,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −4
- 2. ζ = 0,1
- 3. T = 32,58 °C
- 4. k = 0,04795 min⁻¹
- 5. t = 114,5 min
- 6. y(1) = 15,86
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.