1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 27 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 50 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 86 يومًا؟
m0 = 50 mgt½ = 27 dt = 86 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 4y′ + 3y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 26 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,1 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 26 min.
T0 = 5 °CTa = 26 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 26 min
T = °C
4.متوسطة
كوب قهوة عند 86 °C تُرك في غرفة عند 23 °C. بعد 19 min تكون درجة حرارتها 29 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 69 °C؟
T0 = 86 °CTa = 23 °CT(19) = 29 °CT = 69 °C
t = min
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = x لـ x > 0، مع y(1) = −2. أوجد y(3).
y′ + 2y/x = xy(1) = −2
y(3) =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 4 لـ x > 0، مع y(1) = 0. أوجد y(2).
y′ + 2y/x = 4y(1) = 0
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 5,497 mg
- 2. r = −1
- 3. T = 24,44 °C
- 4. t = 2,541 min
- 5. y(3) = 2
- 6. y(2) = 2,333
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.