1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 25 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 100 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 21 يومًا؟
m0 = 100 mgt½ = 25 dt = 21 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 26 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 120 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 50 يومًا؟
m0 = 120 mgt½ = 26 dt = 50 d
m = mg
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 30 °C. بعد 48 min تكون درجة حرارتها 222 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 340 °CTa = 30 °CT(48) = 222 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
كوب قهوة عند 85 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,08 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 6 min.
T0 = 85 °CTa = 22 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 6 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 3x لـ x > 0، مع y(1) = −2. أوجد y(3).
y′ + y/x = 3xy(1) = −2
y(3) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 55,86 mg
- 2. m = 31,64 mg
- 3. k = 0,009981 min⁻¹
- 4. T = 60,98 °C
- 5. ymax = 6,539
- 6. y(3) = 8
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.