1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 5y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 5y′ + 100y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 250 عند t = 0 و 188 عند t = 4 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 250y(4) = 188
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.5) =
4.متوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 4. أوجد y(1).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 4
y(1) =
5.صعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 4 kg من الملح؟
V = 200 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 10 L/min
t = min
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 5y = 10 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 5y = 10y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,25
- 2. k = 0,07125 h⁻¹
- 3. y(0.5) = 3,679
- 4. y(1) = 5,15
- 5. t = 10,22 min
- 6. ymax = 2,416
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.