1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3y′ + 9y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 500 عند t = 0 و 1500 عند t = 3 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 500y(3) = 1500
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 5y′ + 4y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 6. أوجد y(1,5).
y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = 6
y(1.5) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 500 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 23 °C. بعد 23 min تكون درجة حرارتها 174 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 106 °C؟
T0 = 500 °CTa = 23 °CT(23) = 174 °CT = 106 °C
t = min
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 5x2 لـ x > 0، مع y(1) = −3. أوجد y(2).
y′ + 3y/x = 5x2y(1) = −3
y(2) =
6.صعبة
حلّ y″ + 3y′ + 27,25y = 0 مع y(0) = 10 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 27,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,5
- 2. k = 0,3662 h⁻¹
- 3. y(1.5) = 1,331
- 4. t = 34,97 min
- 5. y(2) = 6,188
- 6. y(0.5) = −2,936
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.