1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 16y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 16y′ + 100y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 8 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 10 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 12 يومًا؟
m0 = 10 mgt½ = 8 dt = 12 d
m = mg
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 420 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 22 °C. بعد 36 min تكون درجة حرارتها 157 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 420 °CTa = 22 °CT(36) = 157 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 7y′ + 12y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 6. أوجد y(0,5).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 1y′(0) = 6
y(0.5) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 11,25y = 22,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 11,25y = 22,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = x2 لـ x > 0، مع y(1) = 5. أوجد y(2).
y′ + y/x = x2y(1) = 5
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,8
- 2. m = 3,536 mg
- 3. k = 0,03003 min⁻¹
- 4. y(0.5) = 1,013
- 5. ymax = 2,416
- 6. y(2) = 4,375
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.