1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 12y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 12y′ + 100y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 8y′ + 15y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 8y′ + 15y = 0
r =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 400 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 33 min تكون درجة حرارتها 294 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 368 °C؟
T0 = 400 °CTa = 24 °CT(33) = 294 °CT = 368 °C
t = min
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 320 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 21 °C. بعد 54 min تكون درجة حرارتها 55 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 320 °CTa = 21 °CT(54) = 55 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 9,25y = 46,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 9,25y = 46,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y′ + y = 3e−3t مع y(0) = 1. أوجد y(1,5).
y′ + y = 3e−3ty(0) = 1
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,6
- 2. r = −3
- 3. t = 8,863 min
- 4. k = 0,04026 min⁻¹
- 5. ymax = 7,962
- 6. y(1.5) = 0,5412
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.