1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 9 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 120 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 8 يومًا؟
m0 = 120 mgt½ = 9 dt = 8 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 1,2y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 1,2y′ + 36y = 0
ζ =
3.متوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 2. أوجد y(2).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 2
y(2) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 320 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 27 °C. بعد 25 min تكون درجة حرارتها 255 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 320 °CTa = 27 °CT(25) = 255 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 25,25y = 126,3 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 25,25y = 126,3y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y′ + 2y = 8e−3t مع y(0) = 2. أوجد y(1).
y′ + 2y = 8e−3ty(0) = 2
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 64,8 mg
- 2. ζ = 0,1
- 3. y(2) = 2,571
- 4. k = 0,01003 min⁻¹
- 5. ymax = 8,652
- 6. y(1) = 0,9551
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.