1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 23 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 20 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 50 يومًا؟
m0 = 20 mgt½ = 23 dt = 50 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 8 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 50 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 12 يومًا؟
m0 = 50 mgt½ = 8 dt = 12 d
m = mg
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = -2. أوجد y(0,5).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = -2
y(0.5) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,02 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 60 min.
T0 = 300 °CTa = 24 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 60 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 9,25y = 9,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 9,25y = 9,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 6 لـ x > 0، مع y(1) = 5. أوجد y(3).
y′ + 2y/x = 6y(1) = 5
y(3) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 4,432 mg
- 2. m = 17,68 mg
- 3. y(0.5) = 3,311
- 4. T = 107,1 °C
- 5. ymax = 1,592
- 6. y(3) = 6,333
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.