1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 8 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 120 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 5 يومًا؟
m0 = 120 mgt½ = 8 dt = 5 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3,2y′ + 16y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3,2y′ + 16y = 0
ζ =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 92 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,12 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 23 min.
T0 = 92 °CTa = 19 °Ck = 0,12 min⁻¹t = 23 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 15y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = -4. أوجد y(1,5).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 1y′(0) = -4
y(1.5) =
5.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 15 kg من الملح؟
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min
t = min
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 29y = 58 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 29y = 58y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 77,81 mg
- 2. ζ = 0,4
- 3. T = 23,62 °C
- 4. y(1.5) = 0,005831
- 5. t = 17,83 min
- 6. y(0.75) = 2,468
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.