1.سهلة
للمعادلة y″ + 5y′ + 4y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 0,8y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 0,8y′ + 4y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 320 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. بعد 53 min تكون درجة حرارتها 197 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 271 °C؟
T0 = 320 °CTa = 20 °CT(53) = 197 °CT = 271 °C
t = min
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 420 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 30 °C. بعد 12 min تكون درجة حرارتها 337 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 420 °CTa = 30 °CT(12) = 337 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 5y = 10 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 5y = 10y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.صعبة
حلّ y′ + 2y = 9e−3t مع y(0) = 5. أوجد y(1).
y′ + 2y = 9e−3ty(0) = 5
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −1
- 2. ζ = 0,2
- 3. t = 17,91 min
- 4. k = 0,01994 min⁻¹
- 5. y(0.25) = 0,2597
- 6. y(1) = 1,447
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.