1.سهلة
للمعادلة y″ + 6y′ + 8y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 0,8y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 0,8y′ + 4y = 0
ζ =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 22 °C. بعد 16 min تكون درجة حرارتها 18 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 22 °CT(16) = 18 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
كوب قهوة عند 85 °C تُرك في غرفة عند 18 °C. بعد 11 min تكون درجة حرارتها 57 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 38 °C؟
T0 = 85 °CTa = 18 °CT(11) = 57 °CT = 38 °C
t = min
5.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 40 min؟
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
6.صعبة
حلّ y″ + y′ + 16,25y = 0 مع y(0) = 10 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 16,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −2
- 2. ζ = 0,2
- 3. k = 0,09043 min⁻¹
- 4. t = 24,58 min
- 5. m = 82,42 kg
- 6. y(1) = −4,538
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.