1.سهلة
للمعادلة y″ + 3y′ + 2y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 120 عند t = 0 و 54 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 120y(9) = 54
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = -1. أوجد y(1).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 3y′(0) = -1
y(1) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 500 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 22 °C. بعد 15 min تكون درجة حرارتها 376 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 146 °C؟
T0 = 500 °CTa = 22 °CT(15) = 376 °CT = 146 °C
t = min
5.صعبة
حلّ y′ + y = 2e−0,5t مع y(0) = 2. أوجد y(2).
y′ + y = 2e−0,5ty(0) = 2
y(2) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 25,25y = 25,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 25,25y = 25,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −1
- 2. k = 0,08872 h⁻¹
- 3. y(1) = 0,5477
- 4. t = 67,4 min
- 5. y(2) = 1,201
- 6. y(1.5) = 0,792
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.