1.سهلة
للمعادلة y″ + 6y′ + 5y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 6y′ + 5y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 50 عند t = 0 و 10 عند t = 12 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 50y(12) = 10
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 7y′ + 12y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 2. أوجد y(2).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = 2
y(2) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 440 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 30 min تكون درجة حرارتها 252 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 440 °CTa = 24 °CT(30) = 252 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 9e−2t مع y(0) = 4. أوجد y(2).
y′ + 0,5y = 9e−2ty(0) = 4
y(2) =
6.صعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 8 kg من الملح؟
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. r = −1
- 2. k = 0,1341 h⁻¹
- 3. y(2) = 0,0221
- 4. k = 0,02004 min⁻¹
- 5. y(2) = 3,569
- 6. t = 45,81 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.