1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 200 عند t = 0 و 760 عند t = 11 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 200y(11) = 760
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 500 عند t = 0 و 275 عند t = 2 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 500y(2) = 275
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = -2. أوجد y(1).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 3y′(0) = -2
y(1) =
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 23 °C. بعد 7 min تكون درجة حرارتها 15 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 11 °C؟
T0 = 6 °CTa = 23 °CT(7) = 15 °CT = 11 °C
t = min
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 6x2 لـ x > 0، مع y(1) = −2. أوجد y(2).
y′ + 2y/x = 6x2y(1) = −2
y(2) =
6.صعبة
خزان يحتوي 100 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 4 kg من الملح؟
V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,1214 h⁻¹
- 2. k = 0,2989 h⁻¹
- 3. y(1) = 0,4979
- 4. t = 3,235 min
- 5. y(2) = 8,8
- 6. t = 32,19 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.