1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 27 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 200 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 99 يومًا؟
m0 = 200 mgt½ = 27 dt = 99 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 4y′ + 3y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 320 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,01 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 43 min.
T0 = 320 °CTa = 24 °Ck = 0,01 min⁻¹t = 43 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 15y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 4. أوجد y(1,5).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 1y′(0) = 4
y(1.5) =
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 3 لـ x > 0، مع y(1) = 3. أوجد y(3).
y′ + 3y/x = 3y(1) = 3
y(3) =
6.صعبة
حلّ y′ + 3y = 6e−0,5t مع y(0) = 3. أوجد y(2).
y′ + 3y = 6e−0,5ty(0) = 3
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 15,75 mg
- 2. r = −1
- 3. T = 216,6 °C
- 4. y(1.5) = 0,04805
- 5. y(3) = 2,333
- 6. y(2) = 0,8844
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.