1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 50 عند t = 0 و 125 عند t = 3 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 50y(3) = 125
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 6y′ + 8y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 380 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 21 °C. بعد 21 min تكون درجة حرارتها 212 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 380 °CTa = 21 °CT(21) = 212 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 7y′ + 10y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 1. أوجد y(1,5).
y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 2y′(0) = 1
y(1.5) =
5.صعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 16 kg من الملح؟
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 20 L/min
t = min
6.صعبة
حلّ y″ + 3y′ + 6,25y = 0 مع y(0) = 10 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 6,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,3054 h⁻¹
- 2. r = −2
- 3. k = 0,03005 min⁻¹
- 4. y(1.5) = 0,1816
- 5. t = 3,773 min
- 6. y(0.5) = 5,533
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.