1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,2 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 8 h؟
N0 = 1000k = 0,2 h⁻¹t = 8 h
N =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 5000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,14 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 5 h؟
N0 = 5000k = 0,14 h⁻¹t = 5 h
N =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 380 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,02 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 53 min.
T0 = 380 °CTa = 20 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 53 min
T = °C
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 24 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,07 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 21 min.
T0 = 4 °CTa = 24 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 21 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 8y = 40 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 8y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y′ + 3y = 8e−t مع y(0) = 3. أوجد y(1).
y′ + 3y = 8e−ty(0) = 3
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. N = 4953
- 2. N = 10069
- 3. T = 144,7 °C
- 4. T = 19,4 °C
- 5. ymax = 5,216
- 6. y(1) = 1,422
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.