1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 500 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,4 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 1000 خلية؟
N0 = 500k = 0,4 h⁻¹N = 1000
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 30y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 30y′ + 100y = 0
ζ =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 82 °C تُرك في غرفة عند 20 °C. بعد 7 min تكون درجة حرارتها 49 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 66 °C؟
T0 = 82 °CTa = 20 °CT(7) = 49 °CT = 66 °C
t = min
4.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = -1. أوجد y(1).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = -1
y(1) =
5.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 9e−3t مع y(0) = 1. أوجد y(1,5).
y′ + 0,5y = 9e−3ty(0) = 1
y(1.5) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. t = 1,733 h
- 2. ζ = 1,5
- 3. t = 2,75 min
- 4. y(1) = 0,2707
- 5. y(1.5) = 2,133
- 6. y(0.5) = 1,294
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.