1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 6y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 6y′ + 100y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 80 عند t = 0 و 16 عند t = 7 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 80y(7) = 16
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 4. أوجد y(1).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = 4
y(1) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 420 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,02 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 12 min.
T0 = 420 °CTa = 20 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 12 min
T = °C
5.صعبة
حلّ y′ + y = 7e−0,5t مع y(0) = 0. أوجد y(1).
y′ + y = 7e−0,5ty(0) = 0
y(1) =
6.صعبة
حلّ y′ + 3y = 9e−0,5t مع y(0) = 5. أوجد y(1).
y′ + 3y = 9e−0,5ty(0) = 5
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,3
- 2. k = 0,2299 h⁻¹
- 3. y(1) = 1,353
- 4. T = 334,7 °C
- 5. y(1) = 3,341
- 6. y(1) = 2,253
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.