1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 24 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 40 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 3 يومًا؟
m0 = 40 mgt½ = 24 dt = 3 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 5000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,1 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 11 h؟
N0 = 5000k = 0,1 h⁻¹t = 11 h
N =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 380 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 27 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 51 min.
T0 = 380 °CTa = 27 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 51 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.5) =
5.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 3e−t مع y(0) = 4. أوجد y(0,5).
y′ + 0,5y = 3e−ty(0) = 4
y(0.5) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 16,25y = 162,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 16,25y = 162,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 36,68 mg
- 2. N = 15021
- 3. T = 54,56 °C
- 4. y(0.5) = 1,673
- 5. y(0.5) = 4,149
- 6. ymax = 16,75
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.