1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 2,4y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 2,4y′ + 9y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 500 عند t = 0 و 950 عند t = 9 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 500y(9) = 950
k = h⁻¹
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 25 °C. بعد 5 min تكون درجة حرارتها 12 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 8 °C؟
T0 = 5 °CTa = 25 °CT(5) = 12 °CT = 8 °C
t = min
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 27 °C. بعد 22 min تكون درجة حرارتها 20 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 27 °CT(22) = 20 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 8y = 8 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 8y = 8y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,4
- 2. k = 0,07132 h⁻¹
- 3. t = 1,886 min
- 4. k = 0,05205 min⁻¹
- 5. y(0.5) = 0,4917
- 6. ymax = 6,039
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.