1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 9 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 50 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 4 يومًا؟
m0 = 50 mgt½ = 9 dt = 4 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,08 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 3000 خلية؟
N0 = 1000k = 0,08 h⁻¹N = 3000
t = h
3.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = -2. أوجد y(1).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = -2
y(1) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 26 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,03 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 25 min.
T0 = 300 °CTa = 26 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 25 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 11,25y = 112,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 11,25y = 112,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 9,25y = 9,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 9,25y = 9,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 36,74 mg
- 2. t = 13,73 h
- 3. y(1) = 0,2381
- 4. T = 155,4 °C
- 5. y(0.75) = 10,78
- 6. ymax = 1,592
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.