1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 8,4y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 8,4y′ + 36y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 17 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 50 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 23 يومًا؟
m0 = 50 mgt½ = 17 dt = 23 d
m = mg
3.متوسطة
كوب قهوة عند 90 °C تُرك في غرفة عند 20 °C. بعد 7 min تكون درجة حرارتها 52 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 90 °CTa = 20 °CT(7) = 52 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
كوب قهوة عند 93 °C تُرك في غرفة عند 23 °C. بعد 8 min تكون درجة حرارتها 52 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 68 °C؟
T0 = 93 °CTa = 23 °CT(8) = 52 °CT = 68 °C
t = min
5.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء أُذيب فيه 10 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 50 min؟
V = 1000 Lm0 = 10 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,7
- 2. m = 19,57 mg
- 3. k = 0,1118 min⁻¹
- 4. t = 4,011 min
- 5. m = 18,85 kg
- 6. ymax = 13,08
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.