1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1500 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,11 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 3000 خلية؟
N0 = 1500k = 0,11 h⁻¹N = 3000
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 7y′ + 10y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 7y′ + 10y = 0
r =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 90 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. بعد 15 min تكون درجة حرارتها 53 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 90 °CTa = 19 °CT(15) = 53 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 23 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,08 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 5 min.
T0 = 4 °CTa = 23 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 5 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 17y = 17 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 17y = 17y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 85 min؟
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
مفتاح الإجابات
- 1. t = 6,301 h
- 2. r = −2
- 3. k = 0,04909 min⁻¹
- 4. T = 10,26 °C
- 5. ymax = 1,456
- 6. m = 17,26 kg
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.