1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 500 عند t = 0 و 2000 عند t = 12 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 500y(12) = 2000
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 7y′ + 12y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 7y′ + 12y = 0
r =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 420 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 28 °C. بعد 21 min تكون درجة حرارتها 197 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 420 °CTa = 28 °CT(21) = 197 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 26 °C. بعد 18 min تكون درجة حرارتها 17 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 13 °C؟
T0 = 4 °CTa = 26 °CT(18) = 17 °CT = 13 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 5y = 50 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 5y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 9,25y = 9,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 9,25y = 9,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,1155 h⁻¹
- 2. r = −3
- 3. k = 0,04006 min⁻¹
- 4. t = 10,59 min
- 5. ymax = 12,08
- 6. y(0.75) = 1,343
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.