1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 120 عند t = 0 و 168 عند t = 5 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 120y(5) = 168
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 8,4y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 8,4y′ + 36y = 0
ζ =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 93 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. بعد 20 min تكون درجة حرارتها 32 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 93 °CTa = 22 °CT(20) = 32 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 24 °C. بعد 19 min تكون درجة حرارتها 16 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 11 °C؟
T0 = 6 °CTa = 24 °CT(19) = 16 °CT = 11 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 17y = 170 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,06729 h⁻¹
- 2. ζ = 0,7
- 3. k = 0,098 min⁻¹
- 4. t = 7,625 min
- 5. ymax = 14,56
- 6. y(0.75) = 13,04
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.