1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 9 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 20 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 24 يومًا؟
m0 = 20 mgt½ = 9 dt = 24 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 1,8y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 1,8y′ + 9y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 22 °C. بعد 52 min تكون درجة حرارتها 46 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 36 °C؟
T0 = 340 °CTa = 22 °CT(52) = 46 °CT = 36 °C
t = min
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 15y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = -4. أوجد y(0,5).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 1y′(0) = -4
y(0.5) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 25,25y = 126,3 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 25,25y = 126,3y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 2 لـ x > 0، مع y(1) = 4. أوجد y(2).
y′ + 2y/x = 2y(1) = 4
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 3,15 mg
- 2. ζ = 0,3
- 3. t = 62,85 min
- 4. y(0.5) = 0,1526
- 5. y(1) = 4,431
- 6. y(2) = 2,167
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.