1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 12 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 100 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 25 يومًا؟
m0 = 100 mgt½ = 12 dt = 25 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 5 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 50 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 4 يومًا؟
m0 = 50 mgt½ = 5 dt = 4 d
m = mg
3.متوسطة
كوب قهوة عند 92 °C تُرك في غرفة عند 24 °C. بعد 23 min تكون درجة حرارتها 51 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 92 °CTa = 24 °CT(23) = 51 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
كوب قهوة عند 81 °C تُرك في غرفة عند 20 °C. بعد 13 min تكون درجة حرارتها 45 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 81 °CTa = 20 °CT(13) = 45 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 11,25y = 112,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 11,25y = 112,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 6 لـ x > 0، مع y(1) = −1. أوجد y(3).
y′ + 3y/x = 6y(1) = −1
y(3) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 23,6 mg
- 2. m = 28,72 mg
- 3. k = 0,04016 min⁻¹
- 4. k = 0,06862 min⁻¹
- 5. y(1) = 12,05
- 6. y(3) = 4,407
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.