1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 12,8y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 12,8y′ + 64y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 200 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,05 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 8 h؟
N0 = 200k = 0,05 h⁻¹t = 8 h
N =
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 1. أوجد y(0,5).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = 1
y(0.5) =
4.متوسطة
كوب قهوة عند 91 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. بعد 9 min تكون درجة حرارتها 58 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 36 °C؟
T0 = 91 °CTa = 21 °CT(9) = 58 °CT = 36 °C
t = min
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 3 لـ x > 0، مع y(1) = 4. أوجد y(2).
y′ + y/x = 3y(1) = 4
y(2) =
6.صعبة
خزان يحتوي 100 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 24 kg من الملح؟
V = 100 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,8
- 2. N = 298,4
- 3. y(0.5) = 3,863
- 4. t = 21,74 min
- 5. y(2) = 4,25
- 6. t = 32,19 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.